0(ゼロ)は奇数か偶数か?自然数かどうかも調べてみた

 

Q「数字の0は奇数か偶数か?」

この問題あなたは即答できましたでしょうか?

ちなみに正解は偶数です。

こういう問題ってなんとなく分かってもどうしてそうなるのか?と考えると意外とわからないものですよね。

今回は、0は偶数奇数のどちらか、また自然数であるかどうかも調べてみました。

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偶数と奇数の定義

まず0が偶数か奇数かを考える前に、”偶数と奇数の定義とは何か?”を考える必要があります。

一般的に

偶数といえば、
2、4、6、8、10、12、14 ・・・

奇数といえば、
1、3、5、7、9、11、13、15 ・・・

のような数字を思い浮かべませんか?

多くの人が、2で割れる数字が偶数。2で割り切れない数字が奇数だと思っていますよね。

これは間違いではないんですが、正解でもないんです。

正しい偶数、奇数の定義は…

「偶数」=2で割り切れる整数

「奇数」=2で割り切れない整数

を指します。では、整数とはなんでしょう?

調べてみると,

「整数」・・・1もしくは1を順次に加えて成る数(自然数)、
及びこれに対応する負数及び零の総称。

 

となっています。うーん…よくわからないですよね 笑

簡単に言うと、整数とは、

0 に 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, …)と 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, …) ということです。

 

そして、整数の定義に「零の総称」とあるように0は整数になるため、

0÷2=0と2で割り切れるので、0は偶数となります。

そして-1は、-1÷2=-0.5となり割り切れないため、奇数となりますよね。

簡単に言い換えると…

偶数=奇数に 1 を加えた数、または奇数から 1 を引いた数

奇数=偶数に 1 を加えた数、または偶数から 1 を引いた数

とも言えますね。

ですが、ここで一つ疑問が生じますよね。

0は自然数になるのでしょうか?これについては次で解説しますね。

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0は自然数なのか?

 

おそらく、文系の方など高校数学までしか勉強していない方は自然数について、

「自然数とは正の整数 1,2,3, のことである」

と習っている方が多いと思います。

 

しかし、大学などで数学を専攻している場合は、

「自然数とは 0 以上の整数である。」

と自然数に0を含むと習うことが多いのです。どうしてでしょう?

実は自然数の定義として「ペアノの公理」という定義があります。

 

ペアノの公理

  • 自然数 0 が存在する。
  • 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の “意味”)。
  • 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
  • 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
  • 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

 

なんのこっちゃと思われた方は0を自然数と考える考えたもあるんだなぁくらいで流してください 笑

どうして大学の講義で0を自然数に含めるかというと、「集合論」について考えるときに0を自然数として考えた方が便利だからです。(集合論については長くなるので割愛)

これはどちらが間違っているというわけではなくて、スタイルの違いようなものなのです。

ですから、”0が絶対に自然数であるとも言えないし、絶対に自然数でないとも言えない”というのが正解になります。

中学校、高校の授業では分かりやすくするために、「指で数えれるものが自然数」と教えることが多いようですね。

 

まとめ

今回は0は偶数か、奇数かそして自然数かということについて解説しました。

少し難しい部分もあったかもしれませんが、わかりやすい考え方として…

偶数=奇数に 1 を加えた数、または奇数から 1 を引いた数

奇数=偶数に 1 を加えた数、または偶数から 1 を引いた数

と考えるとわかりやすいとおもいます。

こう考えると、

1 – 1 = 0  ( 1 は奇数なので、1から 1 を引いた 0 は偶数 )…①
0 – 1 = -1  ( ①より0 は偶数なので、0から 1 を引いた -1 は奇数 )

となりますよね!

ご理解いただけましたでしょうか?

たまにはこういうことを考えてみるのも頭の体操になっていいですよね!

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One Response to “0(ゼロ)は奇数か偶数か?自然数かどうかも調べてみた”

  1. Moriyakunn より:

    ゼロは、なんとなく「不自然」な感じがするから、自然数じゃない(もちろん、JOKEです)。

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